有了实数集的基础就可以进入正题——极限。
先说明几个符号的意义
“∀”——代表“任何”、“任意”。
“∃”——代表“存在”。
为了“线性”书写形式的方便，将采用中括号“[]”表示某些“非线性”书写形式（即利用此将其改变成“线性形式”），如
lim[n→∞] X(n)
∑[i=1,n] X(i)
∫[a,b] f(x)dx
一）数列及其极限的定义
数列是函数的一种特殊形式，即其自变量只取自然数，一般表示为{X(n)}，其中n∈N。由于自然数n只可能取无穷大为其极限点，所以数列也只有n趋向于无穷时的极限。
设{X(n)}是一个数列，A是一个实常数。如果对于任意给定的ε>0，存在正整数N，对于任何n>N，成立|X(n) - A|<ε，则称数列{X(n)}收敛于A（或称A是数列{X(n)}的极限）。记为
lim[n→∞] X(n) = A
上面的文字描述可以采用下述符号表述法
lim[n→∞] X(n) = A ↔ ∀ε>0,∃N,∀n>N(|X(n)-A|<ε)
数列的这个极限定义形式通常被称为(ε-N)分析描述语言。此类分析描述语言是由柯西和魏尔斯特拉斯发明的。
二）魏尔斯特拉斯定理
单调有界数列必有极限。
证明
不妨设数列{X(n)}单调增加且有上界。根据确界存在定理，由{X(n)}构成的数集必有上确界A。任意给定ε>0，A-ε必然不是数集{X(n)}的上界，即存在N使得A>X(N)>(A-ε)。由于数列{X(n)}是单调增加的，所以对于任何n>N，成立A>X(n)>(A-ε)，即|X(n)-A|<ε。同理可证数列{X(n)}单调减小且有下界的情况。证毕。
三）柯西-康托尔原理（闭区间套定理）
如果{[a(n),b(n)]}构成一个闭区间套，即[a(n),b(n)]⊇[a(n+1),b(n+1)]，且lim[n→∞] (b(n)-a(n)) = 0。则存在唯一实数c属于所有的闭区间[a(n),b(n)]，且c是数列{a(n)}和{b(n)}的极限。
证明
由题设，显然数列{a(n)}和{b(n)}是单调有界数列，则其必有极限分别设为A和B。由于lim[n→∞] (b(n)-a(n)) = B - A = 0，即A = B（设其为c），则
lim[n→∞] a(n) = lim[n→∞] b(n) = c
由于a(n)≤c≤b(n)，可见c属于所有闭区间[a(n),b(n)]。证毕。
四）波尔察诺-魏尔斯特拉斯定理
有界数列必有收敛子列。
证明
设数列{X(n)}有界，于是存在a1和b1成立a1≤X(n)≤b1。等分闭区间[a1,b1]得两个闭区间[a1,(a1+b1)/2]和[(a1+b1)/2,b1]，其中至少有一个含数列{X(n)}中无穷多项，记为[a2,b2]。按此过程继续可得一个闭区间套{[an，bn]}，显然(bn-an) = (b1-a1)/2^(n-1)，即lim[n→∞] (bn-an) = 0。由闭区间套定理可知存在实数c属于所有闭区间[an,bn]，且lim[n→∞] an = lim[n→∞] bn = c。
现在构造数列{X(n)}的一个子列。任取数列{X(n)}中的一项X(n1)，显然此项必在闭区间[a1,b1]内。由于闭区间[a2,b2]内含有无穷多个数列{X(n)}的项，在其内选一个X(n2)且n2>n1。按此过程继续可得数列{X(n)}的一个子列{X(nk)}，其通项X(nk)必在闭区间[ak,bk]内，则有关系
ak≤X(nk)≤bk
由极限的夹逼性可得
lim[n→∞] = c
证毕。
五）柯西收敛原理
先定义基本数列
如果数列{X(n)}具有如下特性
∀ε>0,∃N,∀n>N∧∀m>N(|X(n)-X(m)|<ε)
则称此数列为基本数列。
数列{X(n)}收敛的充分必要条件是它是个基本数列。
证明
先证必要性。如果数列{X(n)}收敛于A，按收敛定义有
∀ε>0,∃N,∀n>N∧∀m>N(|X(n)-A|<ε/2∧|X(m)-A|<ε/2)
则有
|X(n)-X(m)|≤|X(n)-A|+|X(m)-A|<ε
即数列{X(n)}是个基本数列。
再证充分性。如果数列{X(n)}是个基本数列，对于选定的固定值ε，存在N，当m和n都大于N时成立
|X(n)-X(m)|<ε
现再固定m，显见X(n)有界，即数列{X(n)}是个有界数列。由波尔察诺-魏尔斯特拉斯定理可知有界数列{X(n)}必有收敛子列{X(nk)}，设其收敛于A，即lim[k→∞] X(nk) = A。
因为{X(n)}是基本数列，故∀ε>0,∃N1,∀n>N1∧∀nk>N1(|X(n) - X(nk)|<ε/2)。又由于lim[k→∞] X(nk) = A，则∃N2,∀nk>N2(|X(nk)-A|<ε/2)。取N=max(N1,N2)，当∀n>N∧∀nk>N时有
|X(n)-A|≤|X(n)-X(nk)|+|X(nk)-A|<ε
即数列{X(n)}收敛（lim[n→∞] X(n) = A）。证毕。
六）实数系基本定理的等价性
前面分别给出了五个实数系基本定理以及它们的证明。从其证明的过程可以发现有下列推导关系
实数连续公理→确界存在定理→魏尔斯特拉斯定理→柯西-康托尔原理（闭区间套定理）→波尔察诺-魏尔斯特拉斯定理→柯西收敛原理
，还存在如下的推导关系
柯西收敛原理→柯西-康托尔原理（闭区间套定理）→确界存在定理
由此可见，实数系的五个基本定理是完全等价的。
七）数列极限的性质和四则运算
下面简单罗列一下数列极限的一些性质和运算法则
1）数列极限的唯一性
2）收敛数列的有界性
3）收敛数列的保序性
4）数列极限的夹逼性
5）数列极限的运算法则
a）lim[n→∞] (a X(n) + b Y(n)) = a lim[n→∞] X(n) + b lim[n→∞] Y(n)
b）lim[n→∞] (X(n) Y(n)) = lim[n→∞] X(n) lim[n→∞] Y(n)
c) 如果lim[n→∞] Y(n) ≠ 0，则lim[n→∞] (X(n)/Y(n)) = lim[n→∞] X(n) / lim[n→∞] Y(n)
