在我国民间，勾三股四弦五几乎就是勾股定理的代名词。说到勾股定理，不由得想到一些人和事。正所谓，暗淡了刀光剑影，远去了鼓角铮鸣，岁月带不走的，是一串串熟悉的名字。在中外历史上，商高，赵爽，刘徽，《周脾算经》，《九章算术》，毕达哥拉斯，欧几里，达芬奇等，这些名字个个与勾股定理密不可分。
西周的商高比古希腊的毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理。赵爽，刘徽，欧几里得，达芬奇等众多数学大咖，科学牛人，以及上至美国总统（加菲尔德，第20任美国总统），下至平民百姓，他们都为勾股定理的证明作出重大贡献，发明了近500种巧妙的证法。这些证法，在人类智慧的的宝库中，至今仍熠熠生辉！
历史上，很多人利用拼图的方式（七巧板的雏形）证明了勾股定理，这些证明方法用代数思想解决几何问题，即数形结合的思想，也称为无字的证明。
1.邹元志证法
大正方形的面积=4个直角三角形的面积+小正方形的面积
即（a+b）^2=2ab+c^2,
化简得 a^2+b^2=c^2.
2.赵爽证法。弦图
三国时期的数学家赵爽发明了一幅“勾股圆方图”（后人称之为“弦图”），很巧妙地用拼图的方式，证明了勾股定理。
大正方形的面积=4个直角三角形的面积+小正方形的面积
即c^2=（a-b）^2+2ab,
化简得c^2= a^2+b^2.
3.刘徽证法。青朱出入图
青朱出入图。魏晋时期刘徽在其《九章算数注》中给出注解，其大意是以勾为边的正方形（朱方），以股为边的正方形（青方），以盈补亏，可以拼成以弦为边的正方形（青朱二方），即勾方+股方=弦方。
下图就是此原理的制作动图。
4.总统证法
1876年4月1日还是共和党议员的加菲尔德，在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的一种证法。5年后伽菲尔德就任美国第二十任总统，后来，人们为了纪念他对证明勾股定理所作的贡献，把这种证法称为“总统证法”。
如上图，将上、下分别为a，b，高为（a+b）的直角梯形，分割为两个全等三角形和一个等腰直角三角形。
直角梯形的面积=2个全等三角形的面积+1个等腰直角三角形的面积
1/2(a+b)(a+b)=ab+1/2c^2,
化简得 a^2+b^2=c^2.
5.达·芬奇证法
意大利文艺复兴时期的著名画家、科学家达·芬奇发明的证法。将一块纸板如图（I）镂空，剪开（如图II）成两块，将其中一块翻转后，拼接成如图（III）。
因为图（I）与图（III）中的空白的面积相等，
所以a^2+b^2+ab=ab+c^2，
即 a^2+b^2=c^2.
6.欧几里得证法
欧几里得证法，一如欧式几何，霸气侧漏，看明白有点费劲，试试！
要看明白，分下面10步
（1）黄色正方形的面积=△ACC'的面积的2倍，
（2）△ACC'的面积=△AC'B的面积（夹在平行线BC//AC'之间，同底等高），
（3）△AC'B≌△ACM，
（4）△ACM的面积=矩形APQM面积的一半（夹在平行线BC//AC'之间，同底等高），
（5）即△ACM的面积的2倍=矩形APQM的面积，
（6）黄色正方形的面积=黄色矩形的面积，
同理，
（7）绿色正方形的面积=绿色矩形的面积，
（8）黄色矩形的面积+绿色矩形的面积=边长为c的正方形面积，
（9）黄色正方形的面积+绿色正方形的面积=边长为c的正方形面积，
（10）a^2+b^2=c^2.
7.用射影定理试一试，有戏吗
Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，由射影定理得
AC^2=AD·AB
BC^2=BD·AB
相加得，
AC^2+BC^2=AD·AB+BD·AB
=（AD+BD）AB
=AB·AB
=AB^2
即 AC^2+BC^2=AB^2 ，得证！
这只是从古往近来的众多证法中，随意选取一些。如从数学的百花园中，随手采撷了几朵分享给大家，期待有更多的发现！
